Numeros reales
En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periodicas, tales como: . Números reales son aquellos que poseen una expresión decimal.
Pueden ser descritos de varias formas, aparentemente simples, pero estas carecen del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó finalmente a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa a la nueva matemática, la cual incluyó definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.
Propiedades de los números reales
Recordemos que en secundaria y preparatoria se incluye en los programas de matemáticas procedimientos para sumar fracciones o números racionales, para multiplicar y dividir polinomios, para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, para factorizar expresiones algebraicas, por mencionar algunos. En cada uno de estos temas se utilizan números reales.
La idea fundamental en esta sección es la de poder resumir todas las propiedades algebraicas de los números reales que hemos utilizado o que se puedan utilizar.
La pregunta es: Qué propiedades elementales bastarán para concluir a partir de ellas todas las demás propiedades que se cumplen en álgebra elemental? Qué tanto las podemos resumir? puesto que si hiciéramos una lista con todas las propiedades que sabemos que se cumplen fácilmente pasarían de cien.
La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se pueden deducir las demás propiedades.
Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cual satisface los siguientes axiomas.
Axioma 1 Cerradura
Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están también en R.
Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)
Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.
Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)
Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c
Axioma 4 Propiedad Distributiva.
Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac
Axioma 5 Existencia de Elementos neutros.
R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales.
Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.
[+ El inverso multimplicativo de a también se representa por
El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en los números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente las dos operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y 1. Y el último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone diferente de cero el número a.
También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos:
0 + a = 0 1.a = a (-a) + a = 0 (1/a)*a = 1
Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab, también se puede utulizar un punto a.b
Es importante aclarar que estas propiedades de campo son el resultado de muchos años de trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característica algebraica de los números. En general el álgebra estudia estructuras básicas como grupos, anillos, dominios integrales, espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación de acuerdo a las propiedades que satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructura más completa, que es precisamente la estructura de los números reales.
Aparentemente, después de ver los axiomas se pensaría que faltan propiedades pues no se ha mencionado la resta ni la división, faltan potencias y raíces, y muchas otras cosas. Cómo es posible que con estas propiedades lo demás se cumpla automáticamente?
Efectivamente, faltan las ideas de resta, división, potencias, raíces y otras más. Pero éstas son una consecuencia de las anteriores; podemos construirlas en base a los seis axiomas y lo único que faltaría es dar la definición y comprobar que es posible hacerlo.
Una manera sencilla de recordar los axiomas básicos es agrupando en 3 leyes básicas. Ver Propiedades Básicas.
Como ya habíamos mencionado a partir de estos axiomas podemos demostrar todas las propiedades algebraicas que conocemos de los números, como un ejemplo veremos que (-a)b = -ab.
Ejemplo 1.1. Comprobar (-a)b = -ab usando los axiomas.
Demostración:
(-a)b = (-a)b + 0 axioma 5
= (-a)b + [ab + (-;ab)] axioma 6 = [(-a)b +ab] + (-ab) axioma 3 = [(-a)+a]b + (-ab) axioma 4 = 0.b + (-ab) axioma 6 = [0.b + 0] + (-ab) axioma 5 = {0.b + [ab+(-ab)]} + (-ab) axioma 6 = [(0.b + ab) + (-ab)] + (-ab) axioma 3 = [(0+a).b + (-ab)] + (-ab) axioma 4 = [ab + (-ab)] + (-ab) axioma 5 = 0 + (-ab) axioma 6 = (-ab) + 0 axioma 2 = -ab axioma 5 Cada una de las propiedades algebraicas se podrían demostrar de esta forma, sin embargo una demostración a partir de los axiomas sería demasiado extensa y repetitiva de muchas propiedades. Por ejemplo si ya tuviéramos la propiedad de que a.0 = 0 nos ahorraríamos seis pasos en el procedimiento anterior. En realidad es conveniente comprobar algunas propiedades básicas sencillas de justificar y utilizarlas para la demostración de otras más complicadas. Empezaremos por unas de las propiedades más útiles hasta llegar a comprobar reglas importantes de manejo de expresiones algebraicas.
Teorema 1.1 Propiedades de álgebra elemental.
Si a, b, y c son números reales entonces:
i. a+b = b+a => b = c ley de simplificación para la suma
ii. (-a) es único; Posibilidad de la sustracción
iii. -(-a) = a
iv. -(a+b) = -a + (-b)
v. ab = ac, a =/ 0 => b = c
vi. −1 es único
vii. (−1)1 = a
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